撰稿：黄明威

　　在目前的数学高考题中，总会有一些题目学生平时是没有遇到过的，也总有一些题目学生感觉很熟但又做不好的，我们平时的教学过程中也会发现我们的学生一遇到这样的题目基本是束手无策了，思维工具能比较好的提升学生解决此类问题的能力，从而提高学生解决难题的信心。下面举出在教学过程中的一个实例进行分析：

　　在选修1-1第99页B组的题目（4个小题）要求是：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证，其中第（3）小题是ex>1+x，x≠0本人在教学过程中进行了一点处理：把题目改成：当x>0时，比较ex与1+x的大小；课堂设计是先让学生进行独立的思考，本人一边巡视一边观察学生的做法；在本人的时间限度内发现很多学生都没有头绪，有的好像开始要放弃了，本人马上做一个引导，请学生尝试利用思维工具去分析。

　　一、立足于基础知识、基本理论，利用思维工具CAF（考虑所有因素）进行思考，寻找解题思路和解题方向。

　　1.首先考虑的是题型。显然这是比较大小的题型，考虑之前学过的所有解法：主要分直接法和间接法。其中直接法里常用的是放缩法，文科数学里利用不等式的比较多，理科数学就要求高一些，例如，比较x2+1与2x的大小就直接可以利用基本不等式可解决x2+1≥2x1=2x即当且仅当x=1时等号成立；又如比较x2+1与2x-1的大小就可以由x2+1≥x1=2x>2x-1得x2+1>2x-1；间接法里常用的是作差法、作商法、利用函数的单调性等，作差法一般是作差后能通过整理比较快就可以判断符号，从而能比较原来两个数或式的大小，例如，比较x2-2x与-1的大小就可以先由x2-2x-(-1)即x2-2x+1得(x-1)2≥0，从而有x2-2x-(-1)≥0得x2-2x≥-1；作商法一般是先作商再把商和1比较大小从而得出原来两个数或式的大小；利用函数的单调性，在没有学导数前主要是两种情况：一是直接用单调性可以得到结果，例，比较203与的1-01大小，由于底数2>1，且03>-01，故有203>2-01；二是通过中间量来比较大小，例如，比较203与ln03的大小，因203>0，ln03<ln1=0，故203>ln03；又如，比较203与ln03的大小，因，且，故203>0，又03<0，2>0，故032<030=1，所以有203>032；这其实也就是学生的能否找到思路的一些背景知识和方法同时也凸现基础知识基本方法的重要性了。

　　2.考虑跟ex和1+x相关的一些知识。很多学生马上就可以发现我们在学函数的时候经常遇到的一些函数，即y=ex、y=1+x，这样部分学生马上把这两个函数的简图作出来然后取x>0部分，比较明显的看到有ex>1+x，这种做法是解选择题和填空题好方法，作为解答题就需要严谨的过程，那必须转化成另外一些形式了，我们从函数的简图已经知道ex>1+x，也就是说ex-(1-x)>0，从而可以构造出一个新的函数f(x)=ex-(1+x),x>0，那么只要求出函数f(x)的最小值是大于0即可；或者构造出另一个新的函数g(x)=ex1+x,x>0，只要得出ex1+x>1即可，也就是说只要求出函数g(x)的最小值是大于1即可。也可以有其它的想法。

　　二、利用思维工具FIP（优先考虑的因素）进行筛选、优化解题方案

　　通过以上的思维分析，直接法是非常难解得出来的，间接法里有几种解法就出来了，

　　  方法一：把两个式子作差看成是一个函数，再求此函数的最值（若f(x)=ex-(1+x)，x>0，则求函数f(x)的最小值；若f(x)=(1+x)-ex,x>0，则求函数f(x)的最大值）

　　 令f(x)=ex-(1+x),x>0，则f'(x)=ex-1,(x>0)

　　  ∵e>1，x>0，∴ex>e0=1,故有f'(x)=ex-1>0

　　 ∴f(x)在(0,+∞)上递增

　　∴f(x)>f(0)=e0-(1+0)=1-1=0

　　∴ex-(1+x)>0,(x>0)

　　∴ex>1+x,(x>0)

　　方法二：把两个式子作商看成是一个函数，再求此函数的最值

　　令g(x)=ex1+x,x>0，则g'(x)=xex(1+x)2,x>0

　　∴g'(x)>0

　　∴g(x)在(0,+∞)上递增

　　∴g(x)>g(0)=e01+0=1即ex1+x>1

　　∵x>0，故1+x>0

　　∴ex>1+x,x>0

　　对比上述两种方法，就运算复杂程度和易错程度来看，法一比法二要好些，一方面是作商的时候不等号易出错，另一方面对新构造的函数进行求导，除法相对易错，另外，若把条件x>0改成x≠0，法二还要分类讨论。

　　三、用思维工具与思维导图总结。

　　通过运用思维工具CAF、APC、FIP等工具来分析此题，不少学生对陌生题目的恐惧感就能有所减少。