撰稿：周德均

　　众所周知，2011年广东高考的文科数学题范围广，难度深，但却很好的把握了考试大纲的要求，体现了新课改对高中学生知识能力培养的目标和方向，是一份很好的为高校选拔人才的试题。其中，后三道大题更是这份试卷的精髓，也是难中之重，成为不少考生难以攀登的“珠穆朗玛峰”。

　　本文的目的，是尝试利用思维工具中的部分方法，对19和21两道试题进行分析，体会利用思维工具提高学生的数学能力。在分析过程中，本人力求模拟学生的思维过程的现场，在适当的环节给出利用某些思维工具的建议，找到解决问题的突破口，让考生能够：拿到分，多拿分，拿满分。另外需要说明的是，本文并不愿意做“事后诸葛亮”，而是希望文中提到的工具需要在平时的学习中不断训练，渗透，内化为一种习惯，那么在真正的考场学生才能运用得得心应手。

　　第19题. 设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性。

　　本题的题意简单明瞭，就一个目标：函数的单调性，这个内容在高中数学中非常重要幷且在考试中也非常常见的。聚焦函数的单调性问题，学生很容易想到解决问题的数学工具：利用导函数的正负号分析原函数的单调性，于是，考生就很容易就马上对函数进行求导分析。

　　这里就容易产生一个丢分点：函数的定义域。凡是函数问题，我们有一个优先考虑的原则（FIP）：定义域优先考虑，因为定义域决定了我们研究的范围。如果在平时我们就强调该工具的应用，考生就容易养成习惯，从而优先写出函数的定义域：x∈R]x>0，避免丢分。

　　学生对这个函数求导后，部分考生可能又会马上陷入慌乱之中，因为结果是f'(x)=1x+2a(1-a)x-2(1-a)，感觉导数的形式复杂。此时，目的，方向（AGO）非常关键：导数的正负号决定函数的单调性。我们平时面对这样的复杂形式的时候，我们都要对其就行化简，祛除某些因素，去伪求真。通分应该是平时就要养成的习惯，当我们对导数通分后，发现导数f'(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1x的正负号只由分子2a(1-a)x2-2(1-a)x+1来决定，因此，找准方向，聚焦新问题：函数G(x)=2a(1-a)x2-2(1-a)x+1的正负号的分布。

　　到此，有些考生很容易会把G(x)当做二次函数去分析从而产生丢分。如果我们平时注意思维的严密性，习惯考虑到所有因素（CAF），我们就会对“貌似”二次函数的式子产生怀疑的态度。因为常数a的不确定性，当a=1时，1-a为0，从而使得G(x)变成一个常数函数G(x)=1恒为正，从而确定单调性。这点非常重要，因为1把a的范围分成了两部分：(0,1)和(1，+∞)。该两个范围会使得二次函数G(x)二次项系数2a(1-a)的正负发生变化，导致开口方向发生变化，从而使导数的正负号发生变化，进而影响函数的单调性。另外，二次函数的判别式△也会影响G(x)的正负号分布。综合这些所有因素，考生就能自然想到分类讨论的数学思想方法，幷且也能发现分类讨论的界点所在，完成后面的问题就水到渠成了。

　　附图1：19题思维导图

　　　　第21题 在平面直角坐标系xOy中，直线l:x=-2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

　　1当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

　　2已知T（1，-1），设H是E上动点,求]OH+]HT的最小值，并给出此时点H的坐标；

　　3过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围。

　　根据这套试卷特点，能够在考场面对最后一题还有信心的同学，本身就是具有较高数学素养的学生了。其实本题的题意还是比较好理解的。聚焦轨迹方程的求法，学生完全可以根据题目的已知，在草稿上画出图示，如图。可以通过求轨迹方程的基本方法或者定义法求出M形成的轨迹方程：y2=2x+1或者是y2=2

　　这里用基本方法的学生可能会对曲线是什么有疑问，因为教材上没有出现这样的形式。其实，如果平时在学习抛物线的过程中，能够对抛物线的方程有过批判性的思维：有没有不过原点的抛物线和其方程？有的话是什么形式？再结合图像的平移变化，学生就能够把方程化简到y2=2，确定出轨迹是一条开口向右，P为1，焦点-12,0在的抛物线。这个结论对第二问非常重要，学生就可以利用抛物线的定义找到求出最小值的办法。

　　但是等到第三问的时候，学生会出现一个困惑，因为所给点T在抛物线内部，无论怎样画直线，都和抛物线由两个交点那么斜率的范围就是一切实数了。对于高考的最后一题的最后一问，往往就是压轴题，不可能如此的随意。这时，学生可以对已成的矛盾或者错误这一宝贵的资源对原有结论进行否定或者反思，寻找解决的办法。需要考虑是否前面的解答是否出现了错误，曲线的形式是否还有其他可能没有考虑到。因为抛物线是肯定存在的了，再结合题目中谈到了“有且只有”的字眼，那么是否还有轨迹没有发现？这样，学生再次回到第一问进行探究，就有可能找到M点存在的另外一种情况：y=0,(x<-1)。这样的话，学生在这个题目上就能拿到更多的分数甚至满分。回到学生平时的学习，一定要善于利用出现的错误或者矛盾，往往错误或矛盾是最好的资源，从错误中进行否定，反思，调整策略，能够让学生的思维更有深度，更加严密。

　　附图2：21题思维导图

　　如此看来，思维工具对学生的数学能力的培养是非常重要的，如果平时能够经常利用诸多工具，内化为思维的一种习惯，会帮助学生更加容易发现问题解决的办法，提高学生的数学素养，思维也更加灵活，严密。这样，面对比较陌生或者高难度的问题的时候，才能有足够的思维韧度，解决问题。