教学设计：何瑞芳

　　【版本信息】人民教育出版社高中数学A版。

　　【版本信息】

　　一、教学目标（思维工具：AGO、CAF）

　　知识目标：

　　理解参数φ,ω,A变化对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响。

　　能力目标： 

　　能用“五点作图法”、“图像变换法”作y=Asin(ωx+φ)图像的简图。

　　情感目标： 

　　通过对参数φ,ω,A变换的探索与发现，让学生领会由形象到抽象、由简单到复杂、特殊到一般的化归思想，培养其数形结合的思想。

　　教学重点：“五点作图法”、“图像变换的法”作y=Asin(ωx+φ)图像的简图。

　　教学难点：参数φ,ω,A同时变化对函数图像的影响，通过多媒体演示去探究。

　　教学方法：采用 “从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，并在教学过程中渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法。

　　备用工具AGO、OPV、PMI、CAF、聚焦、祛除、C&S。

　　所需设备：校园网、多媒体课件、三角板

　　二、教学过程

　　图1教学构思

　　(一)复习回顾

　　1．正弦曲线

　　2.五点法做图

　　(二)问题情境

　　1. 问题1：一次函数的标准形式如何？它的图像特性由谁决定？

　　2. 学生思考，回答。

　　3．问题2：正弦函数的标准形式为f(x)=sinx,但在实际生活中我们更多遇到的是形如y=Asin(ωx+φ)的函数图像，如物理的简谐运动，交流电的电流与时间的关系图等。此类函数叫类正弦函数，它的图像特征由参数φ,ω,A共同决定。本堂课我们共同探索函数y=Asin(ωx+φ)图像的作法及其受φ,ω,A影响变化的规律。

　　总结：研究问题的方法策略：由特殊到一般，由形象到抽象。

　　(三)新知探究（思维工具：聚焦、AGO）

　　探究1：探究φ对y=sin(ωx+φ)，x∈R的图像的影响

　　（函数图像的左右平移变换）。

　　课件演示1：在同一坐标系中画出函数y=sinx、y=sin(x+π3)、y=sin(x-π6)的图像，并指出它们与y=sinx图像之间的关系？（几何画板动画展示）

　　新知：函数y=sin(ωx+φ)(其中φ≠0)的图像，可以看作将函数y=sinx的图像上所有点（当φ>0）或（当φ<0）平移个单位长度而得到。

　　探究2：探究ω(ω>0)对y=sin(ωx)的图像影响

　　  （函数图像横向伸缩变换——周期变换）。

　　课件演示2：下图是同一坐标系中y=sinx，y=sin2x,y=sin12x的图像，请确定三个函数所对应的图像，并指出它们与y=sinx图像之间的关系？

　　新知：一般地，函数y=sin(ωx)（ω>0）的图像可以看作将函数y=sinx的图像上所有的点的横坐标（）或（）到原来的倍（纵坐标不变）而得到。

　　探究3：探究φ、ω(ω>0)对y=sin(ωx)的图像影响

　　课件演示3：（1）用“五点作图法”画y=sin(2x+π3)的图像。

　　（2）指出y=sin(2x+π3)与y=sinx图像之间的关系？函数y=sin(2x+π3)的图像可否通过y=sinx图像变换而来？

　　例1. 用两种方法将函数y=sinx的图像变换为函数y=sin(2x+π3)的图像。（思维工具：聚焦、OPV、PMI、祛除）

　　分析1：xx+π32x+π3

　　解法1：y=sinx向左平移π3个单位

　　y=sin(x+π3)横坐标缩短到原来的12纵坐标不变

　　y=sin(2x+π3)

　　分析2：x2x2(x+π6)=2x+π3

　　解法2：y=sinx横坐标缩短到原来的12纵坐标不变

　　y=sin2x向左平移个单位

　　y=sin(2x+x3)

　　难点突破：通过小组合作（OPV）、一题多解（PMI分析）让学生发现各方法的优缺点，从而做出选择。在解法2中，学生容易认为伸缩变换后再平移得到y=sin(2x+x3)的图像，还是通过向左平移x3个单位。此时候教师引导学生回到前面用“五点作图法”画y=sin(2x+x3)的图像，学生就会发现矛盾。从而得到y=sin2x+向左平移x6个单位y=sin\[2(x+π6)\]=sin(2x+π3)。

　　探究4：探究A（A>0）对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响

　　（函数图像的纵向伸缩变换）。

　　课件演示：在例一的图中画出y=3sin(2x+π3)的图像，并指出与图像之间的关系？如果取情况又会怎样呢？

　　（几何画板动画展示）

　　小结：如何由图像通过图像变换得到y=Asin(wx+φ)的图像？

　　（1）y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)

　　（2）y=sinxy=sinωxy=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)

　　图2图像变换的法辨证分析

　　(四)课堂反馈练习（思维工具：OPV、C&S）

　　1.已知函数y=3sin(x+x5)的图像为C

　　（1）要得到函数y=3sin(x-x5)的图像，只需将y=3sin(x+x5)图像（）

　　A. 向右平移x5个单位B. 向左平移x5个单位

　　 C. 向右平移x5个单位 D.向左平移x5个单位

　　2. 要得到函数y=3sin(2x+x5)的图像，只需将y=3sin(x+x5)图像（）

　　A.横坐标扩大原来的2倍，纵坐标不变 

　　B.横坐标缩小到原来12的倍，纵坐标不变

　　C.纵坐标扩大原来的2倍，横坐标不变

　　D.纵坐标缩小到原来12的倍，横坐标不变  

　　3. 要得到函数y=sin(2x-π3)的图像,只需将y=sin2x图像（）

　　 A. 向左平移π3个单位B. 向右平移π3个单位

　　C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位

　　4．将函数y=2sin12x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的12，得到新的函数图像，那么这个新函数的解析式是。 

　　5．作出函数y=sin(2x+π4)的图像。

　　(五)总结提升：

　　作函数y=Asin(ωx+φ)的图像主要有以下两种方法：

　　（1）用“五点法”作图

　　用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像。

　　（2）“图像变换的法”作图

　　由函数y=sinx的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

　　方法一：先平移后伸缩

　　y=sinx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移]φ个单位y=sin(x+φ)

　　横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y=sin(ωx+φ)

　　纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(ωx+φ)

　　方法二：先伸缩后平移

　　y=sinx横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变 

　　y=sinωx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移]φω个单位y=sin(ωx+φ)

　　纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y=Asin(ωx+φ)

　　三、分层作业

　　Ｐ57 习题1.5  A组题1、题2、（3）

　　思考题：函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像如图所示，求这个函数的解析式。

　　四、板书设计

　　（1）“五点作图法”作图的步骤

　　（2）由y=sinx图像通过图像变换得到y=Asin(wx+φ)的图的流程图。

　　板书例1（1）留给学生板书

　　【教学反思】

　　本教学设计中笔者利用了多媒体工具，AGO、OPV、PMI、CAF、聚焦、祛除等思维工具，让学生发现、归纳参数φ,ω,A对函数图像的影响，掌握“五点作图法”、“图像变换法”作y=Asin(ωx+φ)图像的简图的方法。培养了数形结合思想，也为突破函数图像先周期变换再左右平移变换中遇到的困难，周期变换中图像伸缩与ω成倒数关系的理解提供了形象的依据。